Question

一道高中数学集合题

已知集合A={(x,y) | y = - x^2 + mx -1} , B={(x,y) | x+y=3 , 0<= x <= 3}，若集合A与集合B的交集是单元素集，求实数 m 的取值范围。

根判别式b^2 - 4ac = 0 的情况已经掌握
问题：这道题目里面，哪里体现出了b^2 - 4ac >0 的情况，以及这种解法的思路

Answer 1

解析：集合A与集合B的交集为单元素集，由于集合B为图像是一个线段，
①当y=-x²+mx-1与y=3-x相切时，可以得出-x²+mx-1=3-x，即是，x²-(m+1)x+3=o，根据△=b²-4ac=0，解出，m=-1+2√3或-1-2√3
②当y=-x²+mx-1与y=3-x3不相切时，那么就要判断△>0，也就是说：先判断直线一定要与抛物线有两个交点。然后要判断交点横坐标一定在[0,3]之间。
根据△>0,解出，m＞-1+2√3或m＜-1-2√3
而后，解出x²-(m+1)x+3=o的两个根为x1=(m+1)/2-√{(m+1)²/4-3}和x2=-(m+1)/2-√{(m+1)²/4-3}
因此，0<x1≦3,也即是(m+1)/2-√{(m+1)²/4-3}≦3，得出m≥3
根据,0≤x2≦3，可以得出，m≦-5，
那么，m≧3或者m≦-5
综上所述，可以得出，m={m≦-5或m=-1-2√3或m≧3或m=-1+2√3}

Answer 2

∵两集合求交集
根据集合B可得0≤x≤3，0≤y≤3，且y=3-x
将上述条件代入集合A得
3-x=-x²+mx-1，且0≤x≤3
整理得：-x²+（m+1）x-4=0，0≤x≤3
∵若集合A与集合B的交集是单元素集
∴-x²+（m+1）x-4=0，只能有两个相等的根
即（m+1）²-4×（-1）×（-4）=0
解得m=3或m=-5
分别代入m=3得x=2
m=-5时，x=-2
∵0≤x≤3
所以只有m=3时满足要求

Answer 3

有两种情况：1）b^2 - 4ac = 0的情况，即将B代入A后的方程在他的所有定义域内只有唯一的根；2）b^2 - 4ac > 0的情况，即将B代入A后的方程在他的所有定义域内有两个根，但只能有一个根位于x的范围【0,3】内。
解这些集合题，首先理解出他出题真正的目的是考察什么，本题其实考察的是一元二次方程根的判别问题，方程与函数的问题可以通过画图的方案来帮助理解。
希望对你有帮助！

Answer 4

在后面需要分析对称轴以及根的情况，需要分析是相交还是相切，所以需要考虑b^2 - 4ac >0 的情况

Answer 5

即y= –x^2 + mx –1和x+y=3 在0<= x <= 3上仅有一个交点
将y= –x^2 + mx –1和y= –x+3联立得到： –x^2 + mx –1=–x+3
整理得：x^2 –(m+1)x+4=0 (0<= x <= 3)
必须确保这个等式至少有一个解，则：b^2 - 4ac 〉 = 0 代入数值解得：m 〉 = 3或m <= 5
又因为在0<= x <= 3由且仅有一个解，所以令f(x)=x^2 –(m+1)x+4
f(0)f(3)<=0 解得m〉10/3
注意f(0)f(3)<=0会有1/3/5/7/9...个解但f(x)至多只能有两个解，所以此不等式代数意义为：f(x)在0<= x <= 3由且仅有一个解。
综上所述：m〉10/3时集合A与集合B的交集是单元素集。