Question

急，求解，高手帮忙！高等数学题目

Answer 1

解：原式=∫<0,π/2>dθ∫<0,csc(θ+π/4)/√2>e^(r²)rdr+∫<π/2,π>dθ∫<0,csc(θ-π/4)/√2>e^(r²)rdr
+∫<π,3π/2>dθ∫<0,-csc(θ+π/4)/√2>e^(r²)rdr+∫<3π/2,2π>dθ∫<0,-csc(θ-π/4)/√2>e^(r²)rdr
(做极坐标变换)
=(1/2)∫<0,π/2>[e^(csc²(θ+π/4)/2)-1]dθ+(1/2)∫<π/2,π>[e^(csc²(θ-π/4)/2)-1]dθ
+(1/2)∫<π,3π/2>[e^(csc²(θ+π/4)/2)-1]dθ+(1/2)∫<3π/2,2π>[e^(csc²(θ-π/4)/2)-1]dθ
=(1/2)∫<0,π/2>e^(csc²(θ+π/4)/2)dθ+(1/2)∫<π/2,π>e^(csc²(θ-π/4)/2)dθ
+(1/2)∫<π,3π/2>e^(csc²(θ+π/4)/2)dθ+(1/2)∫<3π/2,2π>e^(csc²(θ-π/4)/2)dθ-π
=(1/2)∫<0,π/2>e^(csc²(θ+π/4)/2)dθ+(1/2)∫<π/2,π>e^(csc²(θ-π/4)/2)dθ
+(1/2)∫<0,π/2>e^(csc²(θ+π/4)/2)dθ+(1/2)∫<π/2,π>e^(csc²(θ-π/4)/2)dθ-π
(在第三和第四个积分中，以θ+π代换θ)
=∫<0,π/2>e^(csc²(θ+π/4)/2)dθ+∫<π/2,π>e^(csc²(θ-π/4)/2)dθ-π
=∫<0,π/2>e^(csc²(θ+π/4)/2)dθ+∫<0,π/2>e^(csc²(θ+π/4)/2)dθ-π
（在第二个积分中，以θ+π/2代换θ）
=2∫<0,π/2>e^(csc²(θ+π/4)/2)dθ-π。