Question

如图，在平面直角坐标系中，直线Y=-2X+4分别与X轴Y轴交于点A、B，动点P和Q同时从原点出发，每秒以1个单位

速度作匀速运动，其中点P沿OA运动，点Q沿OB运动，在P、Q运动的同时以PQ为边在第一象限作正方形PQMN。设动点P、Q运动时间为t秒，正方形PQMN与三角形OAB的重叠部分的面积为S。当0≦t≦2时，求S与t的函数关系式。
我知道此题要分步做，只是不清楚第二种情况正方形面积减去一个三角形面积时，那个三角形面积如何求解。多谢各位赐教了。

Answer 1

解：（1）如图①，
∵t=1，M点的运动速度为每秒 3 个单位，A点的运动速度为每秒1个单位，
∴OM= 3 ，OA=1+1=2，若⊙M与OC相切，设切点为H点，
∴OH⊥MH，
∵菱形ABCO，∠AOC=60°，
∴OA=OC=AB=BC=2，∠COH=∠AOH=∠ABO=∠CBO=30°，
∴HC=HA=1，HO=HB= 3 ，AC⊥OB，
∴OH= 3 ，即M与H重合，
∴HA=MH=1，
∵1＜ 3 ，
∴MH＜OM，
∴点O在⊙M外，

（2）如图②，连接MC，MA，
∵菱形AOCB，
∴在△COM和△AOM中，
OC=OA ∠COM=∠AOM OM=OM
∴△COM≌△AOM（SAS），
∴MA=MC，
即⊙M过C点，
若⊙M与OC相切，设切点为H点，连接MH，
∴OH⊥MH，
∵OC与⊙M的公共点只有一个，
∴H点与C点重合，MC⊥OC，
∵M点的运动速度为每秒 3 个单位，A点的运动速度为每秒1个单位，
∴OM= 3 t，OA=1+t，
∵∠COM=30°，
∴CO= 3 2 OM=3 2 t，
∵OA=OC，
∴3 2 t=1+t，
∴t=2．

（3）①当t=1 2 时，
∴OM= 3 2 ，OA=3 2 ，
∵∠BOA=30°，AC垂直平分OB，
∴AH=3 4 ，OH=3 3 4 ，∠OAB=120°，
∴AM= 3 2 ，
∴AM=OM，
∴∠OAM=30°，
∴∠MAB=90°，
同理∠MCB=90°，
∵△COM≌△AOM，
∴AM=CM，
∴⊙M与OC、OA相切，
∴⊙M经过菱形OABC的顶点O，C，A三点，
当t=2时，
∵OM=2 3 ，OA=3，
∴OH=3 3 2 ，AH=3 2 ，
∴OB=3 3 ，
∴MB= 3 ，
∴HM= 3 2 ，
∴AM= 3 ，
∴∠OAM=90°，
同理∠OCM=90°，
∵MB=MA=MA，
∴⊙M与BC、BA相切于点C、点A，
∴⊙M经过点B、C、A三点；
∴当t=2或者t=1 2 时，⊙M与菱形由三个交点；
②当t=0时，
∴M点和O点重合，MA=OB，
∵MA=MA，
∴⊙M经过A，C两点，
当0＜t＜1 2 时，
∵OM＜AM，
∴⊙M经过A，C两点，点O在⊙M内，
当t＞2时，
则OM＞2AM，
∴BM＜AM，
∴⊙M经过A，C两点，点B在⊙M内，
∴当0≤t＜1 2 时，⊙M与菱形的交点又2个；
③当1 2 ＜t，
则OM＞AM，
当t＜2时，
则OM＜2AM，BM＞AM，
∵AB=OA，M在OB上运用，
∴OA＞AM，AB＞AM，且OC＞AM，BC＞AM，
∴⊙M经过A，C点且与OC，OA，OB，BD都有交点，
∴当1 2 ＜t＜2时，⊙M与菱形的交点个数为6个．