Question

设A,B是n阶非零矩阵，且AB=B，则A必有哪个特征值？

如果(A+2E)B=0，E为n阶单位矩阵，则A必有哪个特征值？

怎么知道必有什么特征值的？求解释

Answer 1

知识点: λ是A的特征值
<=> |A-λE| = 0
<=> 齐次线性方程组 (A-λE)X=0 有非零解

1. 因为 AB=B, 所以 (A-E)B=0
所以B的列向量都是 (A-E)X=0 的解
而B≠0
所以 (A-E)X=0 有非零解.
所以 1 是A的特征值.

2. 同理 (A-(-2)E)X=0 有非零解
所以 -2 是A的特征值.

Answer 2

根据特征值的定义，Ax=入X，将B看成n个列向量，显然对每一列，都对数入=1满足该式。
特征值为1；
AB=-2B，则必有特征值-2

Answer 3

根据定义，uX=AX，X是A的特征向量，u是A的特征值，移项有AX-uX=0，（A-uE）X=0
因此(A+2E)B=0符合式子（A-uE）X=0，特征值u=-2
至于第二个问题，如果你是问普遍的话，就是det（A-uE）=0有解的时候有特征值，如果针对这题的话，就是(A+2E)B=0可以化简为 AB=-2B，根据定义可以解答。