Question

求微分方程y″-3y′+2y=xex的通解．

Answer 1

解题思路：首先解齐次微分方程的通解；然后，再解非齐次微分方程的特解，然后将其相加即可得到非齐次微分方程的通解．

微分方程y''-3y'+2y=xex对应的齐次微分方程为y''-3y'+2y=0
特征方程为t2-3t+2=0
解得t1=1，t2=2
故齐次微分方程对应的通解y＝C1ex+C2e2x
因此，微分方程y''-3y'+2y=xex对应的非齐次微分方程的特解可设为y*=x（ax+b）ex=（ax2+bx）ex
y*'=[ax2+（2a+b）x+b]ex
y*''=[ax2+（4a+b）x+（2a+2b）]ex
将y*，y*'，y*''代入微分方程y''-3y'+2y=xex消去ex即可得到：
[ax2+（4a+b）x+（2a+2b）]-3[ax2+（2a+b）x+b]+2（ax2+bx）=x
-2ax+2a-b=x

−2a＝1
2a+b＝0

a＝−
1
2
b＝1
所以，非齐次微分方程的特解为y*＝(−
1
2x2+x)ex
由于非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解
所以，微分方程y''-3y'+2y=xex的通解为y+y*＝(−
1
2x2+x+C1)ex+C2e2x．

点评：
本题考点： 求解微分方程．

考点点评： 本题考查微分方程的求解．只需牢记非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解即可．