Question

如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形AEFC是菱形，EH⊥AC，垂足为H，求证：EH=1\2FC

最要注意的是题目没说B、E、F共线啊！

Answer 1

∵四边形AEFC是菱形

∴AC∥EF  AC=FC

∵四边形ABCD是正方形

∴BD⊥AC   OB=OD=1/2BD  AC=BD

∵EH⊥AC

∴BD∥EH

∴四边形OBEH是平行四边形

∴EH=BO

∴FC=BD=AC=2BO=2EH

∴CF=2EH

即EH=1/2FC

追问

能不能在解释一下四边形OBEH为什么是平行四边形

Answer 2

证明：在正方形ABCD中，AC⊥BD，AC=BD，OB=12BD=12AC，
又∵四边形AEFC是菱形，
∴AC=CF，AC∥EF，
∵EH⊥AC，∠DBC=∠ABD=∠CBF，
∴∠BOH=∠OHE=∠OBE=90°，
∴四边形BEHO是矩形，
∴EH=OB，
∴EH=12AC=12CF．

Answer 3

BF‖AC（菱形对边）HE‖OB.OBEH为矩形。EH＝BO＝BD/2＝AC/2＝FC/2

追问

你说BF‖AC是错的，应该是EF‖AC，题目没说B、E、F共线啊！！所以证不了OBEH为矩形