Question

高一数学必修四综合练习题

一。已知向量a=(cos 3x/2,sin 3x/2),b=(cos x/2,-sin x/2),其中x∈[π/12,π/6].
【1】求证(a+b)⊥(a-b)
【2】设函数f(x)=a*b+丨b丨²,求该函数的最大值和最小值

二。已知函数y=Asin(αx+β)+C (A>0,α>0,丨β丨<π/2),在同一周期最高点的坐标为(2,2),最低点的坐标为(8,-4).
求A,C,α,β的值

Answer 1

(1)向量(a+b)=(cos3x/2+cosx/2,sin3x/2-sinx/2)
(a-b)=(cos3x/2-cosx/2,sin3x/2+sinx/2)
(a+b)(a-b)=cos^2(3x/2)-cos^2(x/2)+sin^2(3x/2)-sin^2(x/2)=1-1=0.
所以(a+b)垂直于（a-b).
(2)f(x)=cos3x/2cosx/2-sin3x/2sinx/2+1=cos2x+1,因为x的范围是[pi/12,pi/6],2x的范围是[pi/6,pi/3],
所以cos2x在[pi/6,pi/3]上的最大值为sqrt(3)/2,最小值为1/2.所以f(x)的最大、最小值分别为
sqrt(3)/2+1,3/2.(注：sqrt(3)即根号3。pi即圆周率)
2、由于Asin(ax+b)的最大值为A,最小值为-A.故由题意知：A+C=2,-A+C=-4.所以A=3 ,C=-1.
2a+b=pi/2,8a+b=3pi/2,a=pi/6,b=pi/6.