Question

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF//AB交BC于F，求：

①BF=AD+CF；②当AD=1时，BC=7,且BE平分∠ABC时，求EF的长

Answer 1

1,过D作DG//AB交BC于G，则因为AD//BC，所以AD=AG，DG//EF
因为E为CD的中点，所以F为GC的中点,所以GF=CF,所以BF=AD+CF
2，AD=1时，BC=7,则GF=CF=3,BF=4
过E作EH//BC交AB于H，则EH=BF,BH=FE,∠AHE=∠ABC=∠EFC
过E作EK垂直AB于K,则因为BE平分∠ABC，所以EK=EC;∠KEH=∠CEF,所以Rt△KEH≌Rt△CEF
所以EF=HE=BF=4

Answer 2

解：（1）延长FE交AD的延长线于点G
∵EF∥AB
∴GF∥AB
∵AD∥BC
∴AG∥BC
∴四边形ABFG是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴AG=BC（平行四边形的对边相等）
∵E是DC的中点
∴DC=CE
又∵∠G=∠CFE（两直线平行。内错角相等）
∵∠DEG=∠CEF（对顶角相等）
∴△DEG≌△CEF（AAS）
∴DG=CF（全等三角形的对应边相等）
∵BF=AG
又∵AG=AD+DG
∴BF=AD+CF
（2）当AD=1，BC=7时
过E点作BC的平行线交AB于点M
∵BE平分∠ABC
∵BE平分∠ABC
∴∠MBE=∠EBC
∵ME∥BC
∴∠EBC==∠MEB(两直线平行,内错角相等)
∴BM=ME(等角对等边)
又∵ME是梯形的中位线
∴ME=1/2(AD+BC)=4
∵EF∥AB
∴四边形BMEF是平行四边形
∴EF=4（平行四边形的对边相等）

Answer 3

AD=BG 1L打错了
1,过D作DG//AB交BC于G，则因为AD//BC，所以AD=BG，DG//EF
因为E为CD的中点，所以F为GC的中点,所以GF=CF,所以BF=AD+CF
2，AD=1时，BC=7,则GF=CF=3,BF=4
过E作EH//BC交AB于H，则EH=BF,BH=FE,∠AHE=∠ABC=∠EFC
过E作EK垂直AB于K,则因为BE平分∠ABC，所以EK=EC;∠KEH=∠CEF,所以Rt△KEH≌Rt△CEF
所以EF=HE=BF=4