Question

一个高数无穷级数的问题？

题目如图中所示，请具体证明，谢谢.

Answer 1

楼主是否打错了？括号里面两个都是 b[n]，如果是 2b[n]，那当然还是收敛的。如果是 a[n] + b[n]，则是发散的。证明用反证法，假设 ∑[n=1, +∞] (a[n] + b[n]) 收敛。
定理 如果级数 ∑[n=1, +∞] A[n] ，级数 ∑[n=1, +∞] B[n] 都收敛，则：级数 ∑[n=1, +∞](A[n] + B[n])
收敛，且有 ∑[n=1, +∞](A[n] + B[n]) = ∑[n=1, +∞] A[n] + ∑[n=1, +∞] B[n] .
现在，由已知条件，令 A[n] = a[n] + b[n]，级数 ∑[n=1, +∞] a[n] 收敛 => 级数 ∑[n=1, +∞] (-a[n]) 收敛. 令 B[n] = -a[n]. 根据定理有：
∑[n=1, +∞](A[n] + B[n]) = ∑[n=1, +∞] b[n] = ∑[n=1, +∞] (a[n] + b[n]) + ∑[n=1, +∞] (-a[n])
收敛. 与条件级数 ∑[n=1, +∞] b[n] 发散矛盾，故级数 ∑[n=1, +∞] (a[n] + b[n]) 发散.