Question

高中数学导数大题

设函数f(x)=1/x*lnx(x>0且x不等于1)
已知2^1/x>x^a对任意x属于(0,1)成立，求实数a的取值范围

Answer 1

对f(x)=1/x*lnx求导，f'(x)=-(lnx+1)/(xlnx)^2
令f'(x)=0 得出 x=1/e
在（0,1/e)上f(x)单调递增 在（1/e,1)上单调递减，所以在1/e出取得极（最）大值。f(1/e)=e
再看条件是2^1/x>x^a
两边取对数ln 得到：ln2^1/x>lnx^a 即：ln2*1/x>a*lnx 在（0,1）上lnx小于零
两边同时除以lnx变号得到：1/x*lnx<a/ln2 即a/ln2大于f(x)=1/x*lnx在（0,1）得最大值f(1/e)=e

所以a>eln2
a的取值范围为（eln2,正无穷）

Answer 2

掠