Question

变上限积分求导

（1）x∫(0到x)f(t)dx 这里面开头的那个x求导时是看成变量还是常数？
（2）∫（0到x）tf(t)dt 里面的t是不是就是当成变量？
（3）f(x-t)dt 令u=x-t du=-dt 那显然x是不是当常数用了？
（4）u=x-t ∫（0到x）f(u)du 我算的答案是xf(u)+∫(0到x)f(u)du 答案是xf(x)+)+∫(0到x)f(u)du 是不是x直接换成u了？

Answer 1

f(x)=∫(a,x)xf(t)dt，此定理是变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量x（不是含x的其他表达式）；
第二，被积函数f(x)中只含积分变量t，不含参变量x。
积分变限函数是一类重要的函数，它最著名的应用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中．
事实上，积分变限函数是产生新函数的重要工具，尤其是它能表示非初等函数，同时能将积分学问题转化为微分学问题。

Answer 2

Answer 3

Answer 4

(1). 求导要用到链到法则：
( x * ∫[0,x] f(t) dx ) ' = (x) ' * ∫[0,x] f(t) dx + x * ( ∫[0,x] f(t) dx ) ' = ∫[0,x] f(t) dx + x * f(x)；
(2). ( ∫ [0,x] t * f(t) dt ) ' = x * f(x)，可以设 F(t) = t * f(t)，这样你容易明白了；
(3). 是这样的，就是把 x 当成普通常数看就行了；
(4). u=x - t ∫ [0, x] f(u) du ，这里又有 t，又有 u 的，请问你是算的什么呢？
直接百度Hi问我即可~~

追问

第四个是 x∫(0,x)f(u)du

追答

( x - x ∫ [0, x] f(u) du ) ' = 1 - ( x ∫ [0, x] f(u) du ) ' = 1 - [(x) ' * ∫[0,x] f(u) du + x * ( ∫[0,x] f(u) du ) ']
= 1 - ∫[0,x] f(u) du - x * f(x)
关键是链导法则~~

追问

x * ( ∫[0,x] f(u) du ) ']
这一个导数我求的是 x * f(u) 你怎么是 x * f(x)

追答

∫[0,x] f(u) du 这是一个关于 x 的函数，并不包含变量 u. 例如，取 f(u) = u，∫[0,x] f(u) du =
∫[0,x] u du = x^2 / 2 + C，求导 => ( ∫[0,x] u du ) ' = ( x^2 / 2 + C ) ' = x.
微积分基本定理：设函数 f 在 [a, b] 上连续，那么
( ∫[a,x] f(u) du ) ' = f(x)，x ∈ [a, b].