Question

高等数学题：极限lim((2^n)*n!)/(n^n) (n→∞)

极限lim((2^n)*n!)/(n^n) (n→∞) 写一下过程！！！

Answer 1

若n=2k，((2^n)*n!)/(n^n)=1×2×3×…×（k-2)(k-1)k(k+1)(k+2)…[k+(k-2)][k+(k-1)][k+k]/k＾(2k)
=[k-(k-1)][k+(k-1)]/kk * [k-(k-2)][k+(k-2)]/kk* … (k-2)(k+2)/kk* (k-1)(k+!)/kk *k(2K)/kk
=[kk-(k-1)(k-1)]/kk * [kk-(k-2)(k-2)]/kk* … (kk-2×2)/kk* (kk-1)/kk *2
若n=2k-1，((2^n)*n!)/(n^n)=1×2×3×…×（k-2)(k-1)k(k+1)(k+2)…[k+(k-2)][k+(k-1)]/k＾(2k-1)
=[k-(k-1)][k+(k-1)]/kk * [k-(k-2)][k+(k-2)]/kk* … (k-2)(k+2)/kk* (k-1)(k+!)/kk *k/k
=[kk-(k-1)(k-1)]/kk * [kk-(k-2)(k-2)]/kk* … (kk-2×2)/kk* (kk-1)/kk *1
∴我们就将((2^n)*n!)/(n^n)变成了k组数（简称k项）的乘积，且除了最后项为2或1外，其他各项均<1,随着(n→∞)，即(k→∞)，第一项=[kk-(k-1)](k-1)]/kk==(2k-1)/kk→0
∴lim((2^n)*n!)/(n^n) (n→∞) =0