Question

在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为abc且满足(根号2a-c)向量BA.向量BC=c.向量CB.向量CA

1 求角B的大小
2 若|向量BA-向量BC|=根号6 求三角形ABC面积的最大值

Answer 1

此题只要根据向量数量积的几何意义一转化就很简单了。
1、向量BA.向量BC=|BA|·|BC|cosB=cacosB，同理 向量CB.向量CA=abcosC
由已知得，（√2a-c)cacosB=cabcosC
由正弦定理得，（√2sinA-sinC)cosB=sinBcosC
即 √2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA
所以 √2cosB=1，所以 B=π/4；
2、因为 |向量BA-向量BC|=√6
所以 (|向量BA-向量BC|)^2=(向量BA-向量BC)^2=6
即 c^2+a^2-2cacosB=6
因为 c^2+a^2≥2ac，所以 2ac-√2ac≤6
于是 ac≤3(2+√2)，当且仅当 a=c时取等号
所以 S=1/2acsinB≤1/2*3(2+√2)*√2/2=3(1+√2)/2
当且仅当 a=c时取等号
所以 △ABC的面积的最大值是3(1+√2)/2

Answer 2

1、向量BA.向量BC=|BA|·|BC|cosB=cacosB，同理 向量CB.向量CA=abcosC
由已知得，（√2a-c)cacosB=cabcosC
由正弦定理得，（√2sinA-sinC)cosB=sinBcosC
即 √2sinAcosB=sinBcosC cosBsinC=sin(B C)=sinA
所以 √2cosB=1，所以 B=π/4；
2、因为 |向量BA-向量BC|=√6
所以 (|向量BA-向量BC|)^2=(向量BA-向量BC)^2=6
即 c^2 a^2-2cacosB=6
因为 c^2 a^2≥2ac，所以 2ac-√2ac≤6
于是 ac≤3(2 √2)，当且仅当 a=c时取等号
所以 S=1/2acsinB≤1/2*3(2 √2)*√2/2=3(1 √2)/2
当且仅当 a=c时取等号
所以 △ABC的面积的最大值是3(1 √2)/2