Question

已知函数f(x)=x2-2mx+2-m.(Ⅰ)若不等式f(x)≥-mx在R上恒成立,求实数m的取值范围

(Ⅱ）记A={y|y=f(x),0≤x≤1}，且A∈[0，+∞），求实数m的最大值。

Answer 1

(I)为了要得到m的范围，就要先用x将m表达出来，然后根据x的范围确定m。 x^2-2mx+2-m≥-mx， 则化简可得 (x+1)m《x^2+2 (1) 因为要将x+1除过去，根据x+1的正负，决定着不等式的方向。 因此要分类： 当x=-1时，0《x^2+2在R上都成立，所以x=-1满足。 当x+1>0时，（1）变为 m《(x^2+2)/(x+1) （2） 为了要使得(2)在x在R上都成立，则m要小于或者等于(x^2+2)/(x+1) 的最小值即可。 (x^2+2)/(x+1) =[(x+1)^2-2(x+1)+3]/(x+1)=(x+1)+3/(x+1)-2, 当x+1>0时，在x+1=3/(x+1)时，此时(x^2+2)/(x+1)达到最小，为2√3-2 因此此时m《2√3-2。 当x+1<0时，(1)变为 m》(x^2+2)/(x+1) ，(3) 为了要使得(3)在x在R上都成立，则要求m要大于等于(x^2+2)/(x+1) 的最大值即可。 (x^2+2)/(x+1) =[(x+1)^2-2(x+1)+3]/(x+1)=(x+1)+3/(x+1)-2，考虑到x<-1的范围内，当x+1=3/(x+1)时，(x^2+2)/(x+1)达到最大，为-2√3-2。 因此此时m》-2√3-2 综合上述可知-2√3-2《m《2√3-2 （2）题目的意思是指在0≤x≤1范围内，f(x)恒大于等于0.
类似于第一小题：x^2-2mx+2-m》0
进行相应的化简可得 (2x+1)m《x^2+2
0《x《1范围内2x+1不小于0.
m《(x^2+2)/(2x+1) (5)
要使得(5)满足，则m要小于(x^2+2)/(2x+1)在0《x《1范围内的最小值。
(x^2+2)/(2x+1)=（x+1/2）/2+9/[8(x+1/2)]-1/2
而其在0《x《1范围内，在（x+1/2）/2=9/[8(x+1/2)]时，其值最小，为1.
因此m《1

Answer 2

x²-2mx+2-m>=-mx恒成立，即x²-mx+2-m>=0恒成立，也即m(x+1)<=x²+2恒成立，
当x=-1时，m为任意实数都成立；
当x>-1时，需要m<(x²+1)/(x+1)=(x+1)+3/(x+1)-2，因为(x+1)+3/(x+1)-2>=2√3-2，所以m<=2√3-2
当x<-1时，需要m>(x²+1)/(x+1)=(x+1)+3/(x+1)-2，因为(x+1)+3/(x+1)-2<=-2√3-2，所以m>=-2√3-2
综上所述，-2√3-2<=m<=2√3-2

Answer 3

不等式f(x)≥-mx在R上恒成立即是f(x)+mx≥0恒成立
所以这就牵扯到二次不等式恒成立的问题了
开口方向朝上 要保证f(x)+mx≥0恒成立
即是x^2-2mx+2-m+mx≥0 即x^2-mx+2-m≥0
所以只需满足判别式小于或等于零就可以了
m^2-4(2-m)≤0 去求m得范围就可以了