Question

设a、b、c是单位向量，且a·b=0，则(a-c)·（b-c）的最小值

Answer 1

解析：
已知向量a、b、c是单位向量，且a·b=0，那么：|向量a|=|向量b|=|向量c|=1
所以：|向量a+b|²=|向量a|²+2a·b+|向量b|²=2
即|向量a+b|=根号2
而(a-c)·（b-c）
=a·b-(a+b)·c+|向量c|²、
=1- (a+b)·c
则可知当向量a+b与向量c共线且方向相同时，数量积(a+b)·c有最大值为|向量a+b|*|向量c|=根号2
所以此时(a-c)·（b-c）有最小值为1- 根号2.

Answer 2

解答：
|向量a+向量b|²=向量a²+2向量a.向量b+向量b²=1+0+1=2
所以 |向量a+向量b|=√2

(向量a-向量c)·（向量b-向量c）
=向量a.向量b-(向量a.向量b).向量c+向量c²
=0-(向量a+向量b).向量c+1
=1-(向量a+向量b).向量c
因为 |(向量a+向量b).向量c|≤|向量a+向量b|*|向量c|=√2
所以 -√2≤(向量a+向量b).向量c≤√2
所以 (向量a-向量c)·（向量b-向量c）=1-(向量a+向量b).向量c≥1-√2

所以，(a-c)·（b-c）的最小值是1-√2

Answer 3

展开,原式=c*c-（a+b）*c其中c*c=1,那么原式要取最小值,(a+b)c就要取最大值,（a+b）是一个向量大小为根2,c是一个向量大小为1,当（a+b）与c夹角为0时(a+b)c的值最大,即根2,原式有最小值1-根2

Answer 4

（a-c）*（b-c）=ab-(a+b)c+c^2=1-(a+b)c=1-|a+b||c|cos<a+b,c>=1-√
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cos<a+b,c>当cos<a+b,c>=1时：原式取得最小值1-√
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