Question

如图,菱形ABCD的顶点A,B在x轴上,点A在点B的左侧,点D在y轴的正半轴,∩BAD=60°,点A的坐标为（-2,0）.动点P从

点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C的顺序在菱形的边上匀速运动，运动到点C停止，设运动时间为t秒（t＞0）
(1)求AD的长；
（2）当直线PO平分菱形ABCD的面积时，求t的值及相应的点P的坐标
（3）求t为何值时，以点P，O,B,D四个顶点所构成的四边形为梯形。（请直接写出t的值或取值范围）

Answer 1

解：
（1）在Rt△AOD中，∵AO=2，∠OAD=60°，∴AD=2／cos60°=4 ；
（2）设AC的中点为E，则过OE的直线把菱形的面积平分(由对称性不难得知）。
∵AB=AD=4，AO=2，∴O为AB的中点，∴直线OE与CD的交点即为点P的位置，易得P为CD 的中点，∴点P运动的路程为：AD+DP=4+2=6，∴t=6／1=6（秒）。由（1）易得OD=2√3，∴
P（2，2√3）。
（3）①当点P在线段AD上，且OP∥BD时，四边形BDOP为梯形，连接BD，则△ABD是等边三角形，∴∠AOP=∠ABD=60°，∴△AOP也是等边三角形，∴AP=AO=2，此时t=2／1=2（秒）；
②当点P在线段CD上时，DP与OB永远是平行的，但是DP≠OB（否则四边形BODP就是矩形），∴当4＜t≤8，且t≠6时，四边形BODP是梯形。
综上所述，当t=2或4＜t≤8，且t≠6时，以P、O、B、D
四个顶点所构成的四边形为梯形。

Answer 2

（1）4
（2）6 P（2，2√3）
（3）t＝2或4＜t＜6或6＜t＜8