Question

第一张图第8题，第二张图画波浪线的地方，为什么矩阵A的秩为n，就可以得出画波浪线的式子呢？

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Answer 1

我有一个理解方式，希望对你有帮助：
首先A,B都是三阶方阵、秩为1，所以它们都有着若当标准型，且其秩也为1。有一个非零特征值，那么若当标准型的秩大于等于1，想要取等号，首先这个非零特征值在标准型的对角线上只出现一次（好像也就是代数重数为1吧，我记不清了），而且其余位置均为0，那么就是，A,B还有两个特征值为0。

Answer 2

有这样的定理：
如果A是满秩方阵，那么必定有r(AB)=r(B)
证明如下
对任意X,若BX=0,则ABX=0,
反之若ABX=0,
由于A列满秩,故方程AY=0只有0解,
从而可知BX=Y=0,
即ABX=0的含于BX=0中,
故两个方程为同解方程,故r(AB)=r(B)

追问

您的回答中“即ABX=0的含于BX=0中,”，不应该是BX=0含于ABX=0中吗？

追答

怎么会呢，BX=0，那么就有ABX=0,
ABX=0, 相当于 A(BX)=0,两个矩阵之积为0，并不能说某个矩阵为0，所以，BX不一定为0.
也就是ABX=0，并不能推出BX=0

所以，ABX=0的解是含在BX=0的解集中的。也就是含于BX=0中

Answer 3

秩的定义就是极大线性无关组的个数，而r（。。。）=s说明他们极大线性无关组中有s个向量，显然已经说明所有向量都线性无关了

Answer 4

有这样的定理： 如果A是满秩方阵，那么必定有r(AB)=r(B) 证明如下 对任意X,若BX=0,则ABX=0, 反之若ABX=0, 由于A列满秩,故方程AY=0只有0解, 从而可知BX=Y=0, 即ABX=0的含于BX=0中, 故两个方程为同解方程,故r(AB)=r(B)