Question

（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点

Answer 1

解题思路：（I）由题意，由于可证得CD⊥平面A 1ABB 1．故点C到平面的距离即为CD的长度，易求；
（II）解法一：由题意结合图象，可通过作辅助线先作出二面角的平面角∠A 1DD 1，然后在直角三角形A 1D 1D中求出二面角的余弦；
解法二：根据几何体的形状，可过D作DD 1∥AA 1交A 1B 1于D 1，在直三棱柱中，可得DB，DC，DD 1两两垂直，则以D为原点，射线DB，DC，DD 1分别为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz．给出各点的坐标，分别求出两平面的法向量，求出两向量的夹角即为两平面的夹角．

（I）由AC=BC，D为AB的中点，得CD⊥AB．又CD⊥AA1．
故CD⊥平面A1ABB1．
所以点C到平面A1ABB1的距离为CD=
BC2−BD2=
5
（II）解法一：如图1，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1∥AA1∥CC1．
又由（I）知CD⊥平面A1ABB1．故CD⊥A1D，CD⊥D1D，所以∠A1DD1为所求的二面角A1-CD-C1的平面角．因A1D为A1C在面A1ABB1中的射影，又已知AB1⊥A1C由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D．从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余．因此∠A1AB1=∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A．因此AA1：AD=A1B1：AA1，即AA12=AD•A1B1=8，得AA1=2
2，从而A1D=
AA 12+AD2=2
3．所以Rt△A1D1D中，cos∠A1DD1=
DD 1
A 1D=
AA 1
A 1D=

点评：
本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．

考点点评： 本题考查二面角的求法及点到面距离的求法，点到面的求法一般是作垂线，垂线段的长度即所求，二面角的余弦值的求法有两种，一种是几何法，找到二面角平面角所在的三角形，解三角形求出角的余弦值，第二种方法是现在比较常用的方法向量法，其特征是思维量小，计算量大，作题时对这两种方法要根据题设灵活选用