Question

求微分方程y''-2y'-3y=e^2x的通解

Answer 1

y'' - 2y' - 3y = e^(2x) 齐次部分 y'' - 2y' - 3y = 0 对应的特征方程：x^2 - 2x - 3 = 0 =>
x = -1 或者 x = 3. 基础解系 e^(-x)，e^(3x). y'' - 2y' - 3y = e^(2x) 有特解 -1/3 * e^(2x).
所以，通解为：y = C1 * e^(-x) + C2 * e^(3x) - 1/3 * e^(2x).
或者，若求得：y" - p(x)*y' - q(x)*y = 0 的两个线性无关的特解：u(x)，v(x)，则
非齐次方程：y" - p(x)*y' - q(x)*y = f(x) 的通解公式为：
y = C1 * u(x) + C2 * v(x) + ∫ [ u(s)*v(x) - u(x)*v(s) ] / [ u(s)*v ' (x) - v(s) * u ' (x) ] * f(s) ds.
u(x) = e^(-x), v(x) = e^(3x). f(x) = e^(2x)，代入计算就能够得到了。