Question

已知椭圆C1:Y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)的右顶点为P(1,0),过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1

1、求椭圆方程:这个我会,y^2/4+x^2=1
2、设抛物线C2：y=x^2+h(h属于R)的焦点为F,过F的直线L交抛物线于AB,过AB分别作抛物线C2的切线交于Q点,且Q点在椭圆上,求三角形ABQ的面积最植,并求出取得最值时抛物线C2的方程
求高手详细解答!!!一定要详细啊!!!拜托啦!!!谢谢

Answer 1

已知椭圆C1：
y2a2+
x2b2=1（a＞b＞0）的右顶点A（1，0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设点P在抛物线C2：y=x2+h（h∈R）上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N．若存在点P，使得线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由椭圆右顶点A（1，0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1，建立方程组，即可求出椭圆方程；
（2）不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2+h)，求出直线MN的方程代入椭圆C1的方程，根据直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以有△＞0，利用线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等，建立方程，从而可得h的取值范围．解答：解：（1）由题意得b=12•
b2a=1​，∴a=2b=1​，…（3分）
∴所求的椭圆方程为y24+x2=1…（5分）
（2）不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2+h)，则抛物线C2在点P处的切线斜率为y'|x=t=2t，…（6分）
∴直线MN的方程为y=2tx-t2+h，代入椭圆C1的方程中，得4x2+（2tx-t2+h）2-4=0，
即4（1+t2）x2-4t（t2-h）x+（t2-h）2-4=0，…（7分）
因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以有△=16t2（t2-h）2-16（1+t2）[（t2-h）2-4]＞0
即-（t2-h）2+4+4t2＞0，…（8分）
设线段MN的中点的横坐标是x3，则x3=
x1+x22=
t(t2-h)2(1+t2)，
设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4=
t+12，
由题意得x3=x4，即有t2+（1+h）t+1=0，显然t≠0
∴h=-
t2+t+1t=-(t+
1t+1)（t≠0）…（9分）
∴t4+2t3-2t2+2t+1＜0，即（t2+t+1）2-5t2＜0
解得-
(1+
5)+
2(1+
5)2＜t＜
-(1+
5)+
2(1+
5)2
而-
(1+
5)+
2(1+
5)2＜-1＜
-(1+
5)+
2(1+
5)2＜0
又h=-
t2+t+1t=-(t+
1t+1)在(-
(1+
5)+
2(1+
5)2，-1)上递增，
在(-1，
-(1+
5)+
2(1+
5)2)上递减…（11分）
http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/a7eb3732-95dc-4599-bd4a-b2f0d515ac74