Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在点x0处取得极小值-5,其导函数y=f'(x)的图像经过点(0,0),(2,0)

1. 求a,b的值 2. 求x0及函数f(x)的表达式

Answer 1

极小值处：f‘(x0)=3(x0)^2+2a(x0)+b=0
同时f(x0)=(x0)^3+a(x0)^2+b(x0)+c=-5
联立f'(0)=0, f'(2)=0,
共四个方程,三个未知数,解方程组即可
答案:b=0, a=-3, x0=2(x0=0时为极大值点,舍去), c=-17, 故f(x)=x^3-3x^2-17

补充: 当x<0时, f'(x)>0, f(x)单调递增
0<x<2时, f'(x)<0, f(x)单调递减
x>2时, f'(x)>0, f(x)单调递增; 故x=0为极大值点, x=2为极小值点
所以楼上是错误的答案.

Answer 2

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c,
0 = f'(1) = 3a + 2b + c, ...(1)
0 = f'(2) = 12a + 4b + c. ...(2)
因方程有2个不同的根，所以 a 不等于0.
0 = 9a + 2b,
2b = -9a.
f''(x) = 6ax + 2b
f''(1) = 6a + 2b = 6a - 9a = -3a,
f''(2) = 12a + 2b = 12a - 9a = 3a.
若a < 0.
则 f''(2) < 0. f'(2) = 0. f(x) 在 x = 2处达到极大值5。
5 = f(2) = 8a + 4b + 2c. ...(3)
由（1），（2），（3）解得
a = 5/2与a < 0矛盾。
所以，
a > 0.
则 f''(1) < 0. f'(1) = 0. f(x) 在 x = 1处达到极大值5。
5 = f(1) = a + b + c. ...(4)
由（1），（2），（4）解得
a = 2,b = -9, c = 12.
因此，
x0 = 1.
如果还是不清楚，再问我。望采纳、

Answer 3

导函数y=f'(x)的图像经过点(0,0),(2,0)
f'(x)=3x^2+2ax+b
过点(0,0) b=0
(2,0) 12+4a=0 a=-3
f(x)=x^3-3x^2+c
f'(x)=3x^2-6x
f'(x)=0 x1=0 x2=2
x=0 f(x)有极小值
f(0)=c=-5
f(x)=x^3-3x^2-5