Question

已知O是三角形的重心 求证向量OA+向量OB+向量OC=0 （向量证明）

Answer 1

点O是三角形ABC的重心 ==> 中线AD、BE、CF过点O，且 向量AO=2向量OD，向量BO=2向量OE，向量CO=2向量OF. 延长AD到G使得 向量OG=向量AO. 从而OBGC是平行四边形，于是 向量OB+向量OC=向量OG=-向量OA， 向量OA+向量OB=-向量OC， 向量OC+向量OA=-向量OB， 三式相加， 2(向量OA+向量OB+向量OC)=-(向量OA+向量OB+向量OC), 3(向量OA+向量OB+向量OC)=零向量， 故 向量OA+向量OB+向量OC=零向量。