Question

已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，

已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．
（1）求证：BF=AC；
（2）求证：CE=12
BF；
（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．

Answer 1

如图，

（1）连结AF延长交BC于H，

 ∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，

∴AH⊥BC(F是垂心)

又∵∠ABC=45°，∴AH=BH（等腰直角△）

∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2

∴△AHC≌△BHF，

∴BF=AC

（2））∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E

∴△BAE≌△BCE，∴AE=CE

∴CE=1/2BF

（3）∠BAC=(180-45)/2=67.5°＞∠ABC，

∴BC＞AC，

∴BG＞CE