Question

已知函数f(x)=ln(x+1)/(x+1).(I)求函数f(x)的最值:(II)设函数g(x)=x/[(x+1)√x+1]证明：当x>0时，函数f(x)

的图像总在函数g(x)图像的下方
第一问已解得，关键是第二问两个相减求导之后发现很奇怪 经过验算很多次并没有算错
求正确解题过程及答案 是浙江省2012自主命题高考冲刺调研2里的

Answer 1

证明：f(x)-g(x)≤0等价于ln(x+1)-x/√（x+1)≤0 不妨设√（x+1)=t 则x=t^2-1(t>0)
于是等价于2tlnt<t^2-1
设F(t)=2tlnt-t^2+1
则F'(t)=2+lnt-2t
当0<t≤1 时 F'(x)>0 F(x)单调增加
当t≥1时 F'(x)<0 F(X)单调减小
所以F(t)在t=1时取得最大值
故F(t)<f(1)=0
也就等价于f(x)≤g(x)恒成立（等号成立条件 x=1)
证毕！