Question

已知函数f(x)=2sinx*sin(π/2+x)-2sin^2x+1

若f(x0/2)=根2 /3,x0∈(-π/4,π/4),求cos2x0
求过程，求速度。。
谢谢~~

Answer 1

f(x)=2sinx*sin(π/2+x)-2sin^2x+1
＝2sinxcosx+cos2x
=sin2x+cos2x
=√2sin(2x+π/4)
因为f(x0/2)=根2 /3
所以
sin(x0+π/4)=1/3
cos2(x0+π/4)=1-2sin²(x0+π/4)=1-2×(1/3)²=7/9
即
sin2x0=-7/9
而 x0∈(-π/4,π/4)
2x0∈(-π/2,π/2)
即
2x0∈(-π/2,0)
又cos²2x0+sin²2x0=1
所以
cos2x0=4√2/9

Answer 2

f(x)=2sinx*sin(π/2+x)-2sin^2x+1
=2sinxcosx+1-2sin^2x
=sin2x+cos2x
=√2*sin(2x+π/4)
f(x0/2)=根2 /3,
sin(x0+π/4)=1/3
x0∈(-π/4,π/4),
x0+π/4∈(0,π/2),
cos(x0+π/4)=2√2/3
所以sin(2x0+π/2)=2sin(x0+π/4)cos(x0+π/4)=4√2/9

cos2x0=sin(2x0+π/2)=4√2/9

Answer 3

由已知得f(x0 /2 )=sinx0+cosx0= (根号2)/3
两边平方，可得 1+sin2x0=2/9 ，
所以，sin2x0=-7/9 ．
因为x0∈(-π/4 ，π/4 )，所以2x0∈(-π/2 ，π/2 )，
所以，cos2x0= 根号【1-(-7/9)^2】 =(4倍根号2)/9 .

追问

由已知得f(x0 /2 )=sinx0+cosx0？？ 怎么来的

追答

由已知得sinx0+cosx0=根号2 / 3
，平方可得sin2x0= -7 /9
，再根据2x0∈(-π /2，π / 2)利用同角三角函数的基本关系求出cos2x0的值．