Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA垂直于平面ABCD，PA=AD=4,AB=2,M为PD中点，O为AC与BD的交点

(1)求证PB∥平面MAC
(2)求证平面ABM⊥平面PCD
(3)求四棱锥M-ABCD的体积

Answer 1

（1）连接MO。容易判断：O是矩形ABCD对角线BD的中点。因为M为PD中点，所以MO∥PB。由MO包含于平面MAC中，所以PB∥平面MAC。
（2）联结AM。因为AM在底面ABCD上的射影AD⊥CD，所以AM⊥CD。因为PA垂直于平面ABCD，所以角PAD是直角。又因为在直角三角形PAD中，PA＝AD，M为斜边PD中点，则AM⊥PD。所以AM垂直于线段PD和线段CD形成的平面PCD。
（3）设AD中点为E。因为M为PD中点，所以ME∥PA且ME＝0.5×PA＝2；因为PA垂直于平面ABCD，所以ME也垂直于平面ABCD，即ME是四棱锥M-ABCD在底面ABCD上的高。矩形ABCD的面积＝AB.AD=4×2＝8。所以四棱锥M-ABCD的体积＝1/3×矩形ABCD的面积×ME=1/3×8×2=16/3。

Answer 2

(1)连接MO, 知MO//BP (中位线定理).故PB∥平面MAC.(若一直线,平行于平面上的一直线,则它就平行于这平面).
(2)AM垂直于PD.是(等腰三角形的中线). (a)
又PA垂直于AB.(垂直于平面,就垂直于平面上的任何直线). AB垂直于AD.故AB垂直于平面PAD.故AB垂直于AM. 而AB//CD,
从而知:CD垂直于AM. (b)
由(a)(b)知AM垂直于PCD.(垂直于平面上的两相交直线,就垂直于这平面)
从而知:平面ABM⊥平面PCD. (若一平面,过另一平面上垂直,则这两平面互相垂直)
(3)取AD的中点E.连接ME,知ME//PA. .由于PA垂直于ABCD,故知ME垂直于平面ABCD.
即ME为四棱锥M-ABCD的高. 知ME = (1/2)PA = 2.
ABCD的面积为S=4*2 =8.
故四棱锥M-ABCD的体积V = (1/3)*8*2= 16/3.