Question

基本不等式问题

1. 设正数a，b满足ab=a+b-3,
(1) 求a+b的最小值
(2)求a+b的范围

2.已知x,y,z属于整数，x-2y+3z=0,求y的平方除以xz的最小值

Answer 1

首先说明一下，这两个题都有问题：第一题没有最小值，只有下确界3，就是说a+b的值大于3而取不到3。第二题也没有最小值，其取值范围是(-∞，0]，或[3，+∞)。
问这个问题的人，不知是故意刁难还是粗心，不过这个题如果稍加改编到不失一个好创意题。

下面具体分析：
1、由已知得 a=(b-3)/(b-1)＞0，所以 b∈(0，1)∪(3，+∞），
由于a、b对称，所以a的取值范围与b相同，即 a∈(0，1)∪(3，+∞），（当然也可同理得出）
a+b=(b-3)/(b-1)+b=1+b-2/(b-1)，记f(b)=a+b=1+b-2/(b-1)，
当b∈(0，1)时，函数f(b)是增函数，所以f(b)＞f(0)=3；
当b∈(3，+∞)，函数f(b)是增函数，所以f(b)＞f(3)=3，
所以 f(b)的值域是（3，+∞），即a+b的取值范围是（3，+∞），没有最小值。

2、由已知得，y=(x+3z)/2
则 y^2/(xz)=(x^2+9z^2+6xz)/(4xz)=3/2+1/4(x/z+9z/x)
由题意，xz≠0
当xz＞0时，上式≥3/2+1/4*2*3=3，当且仅当x=3z=y，z取非0整数时取等号
所以上式此时有最小值为3；
当xz＜0时，上式≤3/2-1/4*2*3=0，当且仅当x=-3z，y=0，z取非0整数时取等号
所以，y^2/(xz)的取值范围是(-∞，0]∪[3，+∞），因此没有最小值。