Question

如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，AD= 根号下2时，求线段BG的长．

Answer 1

解（1）BD=CF成立．
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF
∴△BAD≌△CAF（SAS）．
∴BD=CF．…（3分）

（2）①证明：设BG交AC于点M．
∵△BAD≌△CAF（已证），
∴∠ABM=∠GCM．
∵∠BMA=∠CMG，
∴△BMA∽△CMG．
∴∠BGC=∠BAC=90°．
∴BD⊥CF．…（6分）

②过点F作FN⊥AC于点N．
∵在正方形ADEF中，AD=DE= 2 ，
∴AE= AD2+DE2 =2，
∴AN=FN=1 2 AE=1．
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，
∴CN=AC-AN=3，BC= AB2+AC2 =4 2 ．
∴在Rt△FCN中，tan∠FCN=FN CN =1 3 ．
∴在Rt△ABM中，tan∠ABM=AM AB =tan∠FCN=1 3 ．
∴AM=1 3 AB=4 3 ．
∴CM=AC-AM=4-4 3 =8 3 ，BM= AB2+AM2 =4 10 3 ．…（9分）
∵△BMA∽△CMG，
∴BM BA =CM CG ．
∴4 10 3 4 =8 3 CG ．
∴CG=4 10 5 ．…（11分）
∴在Rt△BGC中，BG= BC2-CG2 =8 10 5 ．…（12分）

Answer 2

答案为5分之8倍根号10，求采纳

Answer 3

图3呢

Answer 4

3

Answer 5

ea ad