Question

1已知二次型f(x1,x2,x3)=3x1^2+x2^2+x3^2+2ax2x3(a小于0)的秩为2 1 求a 2 通过正交变换法将二次型转化为

第一题已知二次型f(x1,x2,x3)=3x1^2+x2^2+x3^2+2ax2x3(a小于0)的秩为2。 1 ）求a 2 ）通过正交变换法将二次型转化为标准型，并写出所用的正交变换
第二题·二次型f(x,y,z)=x^2+3y^2+z^2+2xy+2xz+2yz， f的正惯性指数为？
第三题 和第四题在图片里

Answer 1

解: 二次型的矩阵 A =
3 0 0
0 1 a
0 a 1

由已知 r(A)=2, 所以 |A|=0
而 |A|=3(1-a^2), a<0
所以 a = -1.
所以 A=
3 0 0
0 1 -1
0 -1 1

|A-λE|= (3-λ)[(1-λ)^2-1] = -λ(2-λ)(3-λ).
所以A的特征值为2,3,0.

(A-2E)X=0 的基础解系为 a1=(1,0,0)^T.
(A-3E)X=0 的基础解系为 a2=(0,1,-1)^T.
AX=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)^T.

单位化得
b1=(1,0,0)^T.
b2=(0,1/√2,-1/√2)^T.
b3=(0,1/√2,1/√2)^T.

令P=(b1,b2,b3), 则 X=PY 是正交变换
且 f=2y1^2+3y2^2.

第二题
因为 f =(x+y+z)^2+2y^2
所以 f的正惯性指数为2.

(5) 直接看不出向量之间的线性关系
解: (A) (α1+2α2,α2+α3,2α3+α4,α4+α1)=(α1,α2,α3,α4)K
K =
1 0 0 1
2 1 0 0
0 1 2 0
0 0 1 1
|K|= 2-2 = 0.
故 (A) 不对.
(B) K=
1 0 0 -2
-1 2 0 0
0 -1 1 0
0 0 -1 -2
|K|=-4-2=-6≠0, 所以K可逆
故 r(α1+2α2,α2+α3,2α3+α4,α4+α1)=r(α1,α2,α3,α4)=4
(B)正确.
(C).(D) 不必考虑了

(6) 由已知 PA=B, C=BP^-1
所以 PAP^-1=C
(B) 正确.