Question

计算曲面积分∫∫ 2x z^2 dydz + y(z^2+1) dzdx +9z3 dxdy

其中曲面为z=x^2+y^2+1 (1<=z<=2)
,取下侧
还有一题
已知曲线过点（1,1），曲线上任一点P（x，y)处的切线交y轴于点Q，以PQ为直径所作的圆均过点F(1,0)，求此曲线的方程。

Answer 1

1
z对x的偏导数为：Zx=2x；
z对y的偏导数为：Zy=2y；
曲面z=x^2+y^2+1 的方向余弦分别为
cosα= -Zx / √(1 + Zx² + Zy²) = -2x / √(1 + 4x² + 4y²)
cosβ= -Zy / √(1 + Zx² + Zy²) = -2y / √(1 + 4x² + 4y²)
cosγ= 1 / √(1 + Zx² + Zy²) = 1 / √(1 + 4x² + 4y²)

那么，原积分=∫∫[2x z^2 cosα + y(z^2+1) cosγ + 9z3 cosβ ]dS
=∫∫[(-4x²z² -2y²z² -2y² +9z³)/ √(1 + 4x² + 4y²)] dS
换成柱坐标，x=r·cosθ，y=r·sinθ，z=z ，dS=r·dθ·dz
z=r²+1
则dz=2rdr
则原积分=∫∫[r·(-4r²z²cos²θ -2r²z²sin²θ -2r²sin²θ +9z³)/ √(1 + 4r²)] dθ dz
=∫∫[2r²·( -4r²(r²+1)²cos²θ -2r²(r²+1)²sin²θ -2r²sin²θ +9(r²+1)³ ) / √(1 + 4r²)] dθ dr
=∫<积分限：从0到2π>cos²θ dθ · ∫<积分限：从1到5> -4r^4·(r²+1)² / √(1 + 4r²) dr
+∫<积分限：从0到2π>sin²θ dθ · ∫<积分限：从1到5> -4r^4 / √(1 + 4r²) dr
+∫<积分限：从0到2π> dθ · ∫<积分限：从1到5> 2r²·(5r²+9)·(r²+1)² / √(1 + 4r²) dr
耐心求这个积分吧。分解的步骤最好自己检验一下。
哪里还不明白可以继续与我探讨

2
过P点的切线:
Y=y+y'(X-x)
其与y轴的交点Q:(0，y-y'x)
PQ的中点M(x/2，y-y'x/2)
|PQ|=√[(1+y'²)x²]
|MF|=√[(y-y'x/2)² +(x/2 - 1)²]
由题意知，|PQ|=2|MF|
即√[(1+y'²)x²] = 2√[(y-y'x/2)² +(x/2 - 1)²]
(1+y'²)x² = 4[(y-y'x/2)² +(x/2 - 1)²]
整理得xy·y' - y² -4 =0
→[y/(y² +4)]dy = (1/x)dx
积分得
(1/2)ln(y² +4) = ln|x| + (1/2)ln|C|
→y²=Cx²-4
将初始条件y(1)=1代入上式得
C=5,
则
y²=5x²-4 (x>0)