Question

已知四棱锥P-ABCD的地面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC=a，点F为PC中点

求C到平面AFD的距离

Answer 1

连结菱形对角线BD、AC，交于O，连结OF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴对角线互相垂直平分，O是AC的中点。
∴FO是△PAC的中位线，
∴FO//PA，FO=PA/2=a/2，
∵PA⊥平面ABCD，
∴FO⊥平面ABCD，
∵AC=AD=CD=a,
∴△ACD是正△，
∴OD=√3a/2,
∴S△ACD=√3a^2/4，
VF-ACD=S△ACD*OF/3=（√3a^2/4)*(a/2)/3=√3a^3/24,
根据勾股定理，PC=√2a,
AF=PC/2=√2a/2,(RT△斜边中线为斜边的一半），
在△FOD中，根据勾股定理，DF=a,
∴DF=DA=a,
在△AFD中，作DH⊥AF，
根据勾股定理，DH=√14a/4,
∴S△AFD=AF*DH/2=√7a^2/8,
设C至平面AFD的距离为d,
VC-AFD=S△AFD*d/3=√7a^2/8*d/3=√7a^2d/24,
VF-ACD=VC-AFD,
√3a^3/24=√7a^2d/24,
∴d=√21a/7.
∴C点至平面AFD的距离为√21a/7.
也可以用向量来作。