Question

已知f（x）=（x^2+2x+a）/x ,x∈[1,+∞)

(1)当a=1/2是，求f(x)的最小值
(2)若对于任意x∈[1,+∞），f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围
上面两个问题改下 （1）当a-1/2时，是判断并证明f（x）的单调性
（2）当a=-1时，求f（x）的最小值

Answer 1

我来试试，我们老师稍微讲了下这种类型的
首先全部代进去（似乎好傻的方法）得出f(x)=x^2+2x+0.5/x即f(x)=x+2/x+2，x∈[1,+∞)
这个函数为勾函数，也成耐克函数（我们老师说的）
这个函数的标准形式为f(x)=ax+b/x顶点的X值是ax=b/x的两个根
你的题目是f(x)=x+x/2+2,则顶点很坐标为根号2和负根号2。但是x∈[1,+∞) 所以，这个函数的顶点横坐标为根号2。带入原方程得f(x)=2√2+2,就是这个f(x)的最小值为2倍根号2加2（不知道怎么打。。。。）
希望能帮到你。。。嘻嘻，顺便告诉我你空间的密码。。

追问

sorry 刚才问题复制错了 是这两个问题（1）当a-1/2时，是判断并证明f（x）的单调性
（2）当a=-1时，求f（x）的最小值

Answer 2

1)a=1/2,则f(x)=x+1/(2x) + 2
取1<x1<x2
则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[1-1/(2x1x2)]<0
故f(x)在[1,+∞)上递增
2)a=-1,则f(x)=x-1/x+2
取1<x1<x2
则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[1+1/(x1x2)]<0
故f(x)在[1,+∞)上递增
故f(x)最小值为f(1)=2

追问

则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[1-1/(2x1x2)]<0
这个是怎么化简的？

追答

f(x1)-f(x2)
=x1+1/(2x1) -x2-1/(2x2)
=x1-x2+[(x2-x1)/(2x1x2)]
=(x1-x2)[1-1/(2x1x2)]