Question

已知椭圆E x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0) 的左右焦点分别为F1,F2,已知椭圆E上任意一点P，满足向量PF1乘以向量PF

已知椭圆E x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0) 的左右焦点分别为F1,F2,已知椭圆E上任意一点P，满足向量PF1乘以向量PF2大于或等于a^2/2,过F1作垂直于椭圆长轴的弦长为3.

1、求椭圆E的方程

2、若过F1的直线交椭圆于A、B两点，求向量F2A乘以向量F2B的取值范围

Answer 1

设P(acosθ，bsinθ)，则向量PF1=(-c-acosθ，-bsinθ)，向量PF2=(c-acosθ，-bsinθ)，
向量PF1*向量PF2=a²cos²θ-c²+b²sin²θ=(a²-b²)cos²θ+b²-c²≥b²-c²
又因为向量PF1*向量PF2≥a²/2，所以a²/2=b²-c² ①，
又过F1作垂直于椭圆长轴的弦长为2b²/a=3,即2b²=3a ②，且c²=a²-b² ③，
解由①②③联立的方程组，得a=2，b=√3，c=1,
所以椭圆E的方程是x²/4+y²/3=1.
当直线AB的斜率存在时，设过F1(-1,0)的直线方程为y=k(x+1)，
代入椭圆方程，得(3+4k²)x²+8k²x+4k²-12=0,
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=-8k²/(3+4k²)，x1x2=(4k²-12)/(3+4k²)，
y1y2=k²(x1+1)(x2+1)=-9k²/(3+4k²)，因F2(1,0)，
向量F2A*向量F2B=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(7k²-9)/(3+4k²)=7/4-57/[4(4k²+3)]∈[-3，7/4)，
当k不存在时，A(-1,3/2)，B(-1,-3/2)，
则向量F2A*向量F2B=(-2)*(-2)+(3/2)*(-3/2)=4-9/4=7/4，
综上，向量F2A*向量F2B的取值范围是[-3，7/4]。