Question

已知y1=(x+2)e^x/2x,y2=(xe^2x+2)/2xe^x,y3=e^x/2为微分方程xy''+2y'-xy=e^x的三个特解，则该方程的通解为

可不可以有过程

Answer 1

已经有了 3 个特解，注意分析它们的特征就能够得到结论.
y3 = e^x / 2 是 xy'' + 2y'- xy = e^x 的特解；
y1 = (x + 2) e^x / (2x) = e^x / x + e^x / 2 = e^x / x + y3 也是 xy'' + 2y'- xy = e^x 的特解，可以知道
【 u(x) = e^x / x 】是齐次部分 xy'' + 2y'- xy = 0 的特解；
y2 = (x * e^(2x)+ 2) / (2x * e^x) = e^(-x) / x + e^x / 2 = e^(-x) / x + y3 也是 xy'' + 2y'- xy = e^x 的特解，可以知道【 v(x) = e^(-x) / x 】 是齐次部分 xy'' + 2y'- xy = 0 的特解；
综上，可以知道通解为：
y = C1 * u(x) + C2 * v(x) + y3 = C1 * e^x / x + C2 * e^(-x) / x + e^x / 2
其中，C1，C2为任意常数.

Answer 2

哎 智商不够 看不懂 爱莫能助

追问

我有答案，但是不会过程