Question

求幂级数n=（0，∞）（-1）^（n-1）*x^（2n-1）/（2n-1）的和函数

Answer 1

幂级数n=（0，∞）（-1）^（n-1）*x^（2n-1）/（2n-1）是一个奇函数，它的和函数是一个分段函数，当x在（-π，0）和（0，π）时，它的和函数分别为：
f(x) = π/2 - x，(-π，0)
f(x) = π/2 + x，(0，π)
这里是求和函数的推导过程：
幂级数n=（0，∞）（-1）^（n-1）*x^（2n-1）/（2n-1）可以写成：
f(x) = Σ（n=0，∞）（-1）^（n-1）*x^（2n-1）/（2n-1）
对其进行求和，可以得到：
f(x) = [x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...] + [-x^2 + x^4/2 - x^6/4 + x^8/6 - ...]

Answer 2

该幂级数可以表示为：

f(x) = ∑((-1)^(n-1) * x^(2n-1) / (2n-1)), n = 1, 2, 3, ...

我们可以使用幂级数求和的方法来计算它的和函数。具体来说，我们可以对该幂级数进行逐项积分，并加上一个常数项，得到：

F(x) = ∑((-1)^(n-1) * x^(2n) / (2n * (2n-1))) + C

其中 C 是一个常数。注意到该级数的每一项都是奇函数，因此 F(x) 也是奇函数。因此，我们可以将其表示为 F(x) = G(x^2)，其中 G(x) 是偶函数。对 G(x) 进行逐项积分，得到：

G(x) = ∑((-1)^(n-1) * x^(2n) / (4n * (2n-1) * (2n-3))) + D

其中 D 是一个常数。因此，我们可以得到最终的和函数：

f(x) = F(sqrt(x)) = G(x) + C

f(x) = ∑((-1)^(n-1) * x^n / (4n * (2n-1) * (2n-3))) + C

其中 C 和 D 是常数，可以通过初始条件来确定。