求根号下a^2+ b^2+ c^2+ d^2的最小值

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泉涌涌泉
2023-04-14 · 你若盛开,清风自来;你若精彩,天自安排!
泉涌涌泉
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谢谢你提的问题,这个问题很好,它引发了我的思考。以下是我对于这个问题的思考与理解,供你参考:

为了求解这个问题,我们可以使用柯西-施瓦茨不等式(Cauchy-Schwarz Inequality)。不等式表示如下:

(Σx_i^2)(Σy_i^2) ≥ (Σx_iy_i)^2

  • 我们令 x_i^2 = a 和 y_i^2 = b,那么 x_1 = √a, x_2 = √b, y_1 = 1, y_2 = 4。将这些值代入柯西-施瓦茨不等式中,我们得到:

(√a + 2√b)^2 ≤ (a + 4b)(1 + 4)

  • 然后,我们已知 a + b = 4,所以 b = 4 - a。将这个结果代入上面的不等式中,我们得到:

(√a + 2√(4 - a))^2 ≤ (a + 4(4 - a))(5)

简化得:

(√a + 2√(4 - a))^2 ≤ 20a - 60

  • 现在,我们的目标是找到 (√a + 2√(4 - a)) 的最小值。注意到 (√a + 2√(4 - a))^2 是非负的,我们可以得到:

(√a + 2√(4 - a))^2 ≥ 0

现在,我们已经找到了一个下界和一个上界,我们可以通过比较两者来找到 (√a + 2√(4 - a)) 的最小值。当且仅当 (√a + 2√(4 - a))^2 = 20a - 60 时, (√a + 2√(4 - a)) 取到最小值。这时我们得到:

20a - 60 = (√a + 2√(4 - a))^2

通过解这个方程,我们可以得到 a = 3/2,b = 5/2。因此,当 a = 3/2 且 b = 5/2 时,根号下 a^2 + 1 加根号下 b^2 + 4 的最小值为:

√(a^2 + 1) + √(b^2 + 4) = √((3/2)^2 + 1) + √((5/2)^2 + 4) ≈ 3.414

供参考,望笑纳!

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