设n阶矩阵A满足A2=A，其中E为n阶单位矩阵， 证明R(A)+R(A-E)≤n
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【答案】：证： 因为A2-A=0，则A(A-E)=0，设A-E=B，则AB=0，把B按列分块
为B=(b1,b2,…,bn)，则
AB=(Ab1,Ab2,…,Abn)=0
即Abj=0(j=1,2,…,n)，所以月的列向量bj(j=1,2,…,n)都是AX= 0的解向量．由于AX=0的基础解系含n-R(A)个线性无关的解向量，而b1, b2,…,bn可由AX=0的基础解系线性表示，即R(B)≤n-R(A)，故R(B) +R(A)=n．
即 R(A)+R(A-E)≤n
为B=(b1,b2,…,bn)，则
AB=(Ab1,Ab2,…,Abn)=0
即Abj=0(j=1,2,…,n)，所以月的列向量bj(j=1,2,…,n)都是AX= 0的解向量．由于AX=0的基础解系含n-R(A)个线性无关的解向量，而b1, b2,…,bn可由AX=0的基础解系线性表示，即R(B)≤n-R(A)，故R(B) +R(A)=n．
即 R(A)+R(A-E)≤n
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