Question

已知双曲线c:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的离心率为2根号3/3,且过点p（根号6，1）。1求双曲线c的方程

2若直线l：y=kx+根号2与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且向量OA*向量OB>2(o为坐标原点)，求k的取值范围

Answer 1

1,c/a=2√3/3，则3c^2=3(a^2+b^2)=4a^2，即a^2=3b^2。
双曲线方程为：x^2/(3b^2)-y^2/b^2=1。
将点P(√6,1)代入双曲线方程得：2/b^2-1/b^2=1、b^2=1、a^2=3。
双曲线方程为：x^2/3-y^2=1。
2,将直线l方程代入双曲线方程得：(1-3k^2)x^2-6√2kx-7=0。
设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1+x2=6√2k/(1-3k^2)、x1x2=-7/(1-3k^2)。
y1y2=k^2x1x2+√2k(x1+x2)+2
=-7k^2/(1-3k^2)+12k^2/(1-3k^2)+(2-6k^2)/(1-3k^2)
=(2-k^2)/(1-3k^2)
向量OA*向量OB=x1x2+y1y2=(k^2+5)/(3k^2-1)>2。
则(k^2+5)/(3k^2-1)-2=(7-5k^2)/(3k^2-1)>0。
(5k^2-7)(3k^2-1)<0、1/3<k^2<7/5。
k的取值范围是：(-√35/5,-√3/3)U(√3/3,√35/5)。

追问

谢谢 但是刚刚我按照你的方法算 答案是 k.>1/3 或 k<-1/3

追答

那也有可能是我计算有误，但方法就是这样的。

追问

嗯 我也好好检查下自己答案 :-) thank you

追答

懂了就采吧