如图,在△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线，求证；AC=AB+BD
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证明：在AC上取一点E，使得AB＝AE，连接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
又∵AD＝AD
∴△BAD≌△EAD
∴∠AED＝∠B，BD＝DE
又∵∠B＝2∠C
∴∠AED＝2∠C
∴∠EDC＝∠ECD（三角形外角等于两个不相领的内角和）
∴DE＝EC
∴EC＝BD
∴AC＝AE＋EC＝AB＋EC＝AB＋BD
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证明：延长AB至E使BE=BD连接DE
因为BE=BD
所以∠BED=∠BDE
因为∠B=2∠C，且∠B=2∠BED
所以∠BED=∠C
因为AD平分∠BAC所以∠DAE=∠DAC
因为AD=AD
所以△DAC≌△DAE(ASA)
所以AC=AE
AC=AB+BE=AB+BD
证毕
因为BE=BD
所以∠BED=∠BDE
因为∠B=2∠C，且∠B=2∠BED
所以∠BED=∠C
因为AD平分∠BAC所以∠DAE=∠DAC
因为AD=AD
所以△DAC≌△DAE(ASA)
所以AC=AE
AC=AB+BE=AB+BD
证毕
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在AC上取AE=AB 连接DE
因为AD是∠BAC的平分线 AD=AD AB=AE
所以△ABD≌△AED
得∠B=∠AED BD=DE
∠AED=∠EDC+∠C
由于∠B=2∠C
得∠EDC=∠C
所以 DE=EC
AC=AE+EC
所以AC=AB+BD
因为AD是∠BAC的平分线 AD=AD AB=AE
所以△ABD≌△AED
得∠B=∠AED BD=DE
∠AED=∠EDC+∠C
由于∠B=2∠C
得∠EDC=∠C
所以 DE=EC
AC=AE+EC
所以AC=AB+BD
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