Question

证明：循环群的任何子群必定为循环群．

Answer 1

【答案】：不妨记此循环群为(G，*)，而且，它们的两个平凡子群({e}，*)及(G，*)显然为循环群．
现只考虑它的任一真子群．由循环群的定义知，至少存在一个元素a∈G，而且，G的其他元素可表示为a^k．(G，*)的任何真子群(A，*)中的元素也具有a^k的形式，设s=min{k＞1，a^k∈A}．只需证明s|k，就说明(A，*)中的元素由a^s生成．
用反证法．假设有a^t∈A，但s不能整除t．根据运算的封闭性知，(a^s)^m=a^sm∈A，m∈N，又因为(A，*)是子群，从而有a^-ms∈A．故存在某整数p及0＜r＜s，使得，t=ps+r，a^t*a^-ps=a^ps+r*a^-ps=a^r∈A．这与s的定义矛盾，故必有s整除t．