Question

如图，已知点O为Rt三角形ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的圆心O与BC相切于点E，与AC相交于...

如图，已知点O为Rt三角形ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的圆心O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE。（1）求证：AE平分角CAC（2）探求图中角1与角C的数量关系，并求当AE＝EC时tanC的值。

Answer 1

1、AE平分∠BAC
∵圆O与BC相切
∴OE⊥BC OE=OA(半径）
∴∠OEA+∠AEB=90° ∠OAE=∠OEA
∵∠ABC=90°(Rt△ABC)
∴∠AEB+∠BAE=90°
∴∠BAE=∠OEA=∠OAE=∠CAE
∴AE平分∠BAC
2、不知∠1在哪儿？
∵AE=EC
∴△AEC是等腰三角形
∴∠CAE=∠C=∠BAE=1/2∠BAC
∵∠BAC+∠C=90°
∴2∠C+∠C=90°即∠C=30°
∴tanC=√3/3

Answer 2

（1）OA长为半径的圆心O与BC相切于点E
OE⊥BC，OE‖AB，∠OEA＝∠EAB
∵OE＝OA，∠OEA＝∠OAE
∴∠OAE＝∠EAB
AE平分角CAB

Answer 3

首先OE=OA，△AED是直角△，
且OE//AB
∠COE=∠A
∠OAE=∠OEA等腰△底角相等
∠OAE+∠OEA=180-∠AOE=∠COE
所以∠OAE=∠OEA=∠COE/2=∠A
所以OA平分∠A

Answer 4

郭敦顒回答：
未见图，依题意就自绘了。

A
1
O

D

B E C
∵∠ABC=∠OEC=90°
∴AB∥OE，∠BAE=∠OEA（内错角相等）
又，OA=OE，∴∠OAE=∠OEA， ∠1=∠OAE，∠1即∠OAE，
∴∠BAE=∠OAE
∴AE平分角BAC，（CAC为BAC之误）
当∠C＜30°时，∠C＜∠1；∠C＞30°时，∠C＞∠1；
∠C=30°时，∠C=∠1。
而当∠C=30°，∠C=∠1时，则有AE＝EC
∴tanC=tan30°=0.5774