Question

将函数ln(x+√1+x^2)展开为x的幂级数，并指出其收敛半径。

Answer 1

将函数ln(x+√1+x^2)展开为x的幂级数，并指出其收敛半径如下：

阿贝尔定理基于常值级数收敛性判定的比较审敛法，容易得到如下结论：

定理1：若幂级数(1)在点x=a(a≠0)处收敛，则它对于满足不等式|x|<|a|的一切x都绝对收敛；

若幂级数(1)在点x=a处发散，则它对于满足不等式|x|>|a|的一切x都发散。

对于一元函数有，可微<=>可导=>连续=>可积

对于多元函数，不存在可导的概念，只有偏导数存在。函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在，仅仅保证偏导数存在不一定可微，因此有：可微=>偏导数存在=>连续=>可积。

可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；

可微与连续的关系：可微与可导是一样的；

可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；

可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。

Answer 2

将函数ln(x+√1+x^2)展开为x的幂级数，并指出其收敛半径如下：

阿贝尔定理基于常值级数收敛性判定的比较审敛法，容易得到如下结论：

定理1：若幂级数(1)在点x=a(a≠0)处收敛，则它对于满足不等式|x|<|a|的一切x都绝对收敛；

若幂级数(1)在点x=a处发散，则它对于满足不等式|x|>|a|的一切x都发散。

定理2：如果幂级数(1)既有不等于零的收敛点，又有发散点，则必存在唯一的正数R(0<R<+∞)，使得当x<|R|时，该幂级数绝对收敛；当x>|R|时，该幂级数发散。

并称正数R称为幂级数(1)的收敛半径，而以原点为中心的对称区间(-R,R)称为幂级数(1)的收敛区间．通过判定收敛区间端点x=±R处的敛散性，容易计算得到幂级数(1)收敛域与发散域。

规定：当幂级数(1)只在x=0处收敛时，规定其收敛半径R=0；当它在整个数轴上都收敛时，规定其收敛半径R=+∞。

Answer 3

见 同济六版高数总习题十二 10（1）。

Answer 4

(ln(x+√1+x^2))'=(1+x^2)^(-1/2)

追问

能不能详细点

追答

(1+x^2)^(-1/2)用公式展开，再求积分

追问

过程