Question

已知集合A={x|x=a+b根号2，a,b∈Q},若X1∈A,X2∈A

（1）试问X1X2,X1/X2是否属于A
（2）若B=={x|x=a+b根号2，a,b∈Z}，试问X1X2,X1/X2是否属于B，为什么？

Answer 1

X1=a1＋b1根号2
X2=a2＋b2根号2
X1×X2=（a1＋b1根号2）（a2＋b2根号2）=a1a2＋2b1b2＋（a1b2＋a2b1）根号2
因为a1a2＋2b1b2，a1b2＋a2b1都属于Q，所以X1X2属于A
X1/X2=（a1＋b1根号2）/（a2＋b2根号2）=（a1a2－2b1b2）/（a2^2－2b2^2）＋（a2b1－a1b2）/（a2^2－2b2^2）根号2
因为（a1a2－2b1b2）/（a2^2－2b2^2），（a2b1－a1b2）/（a2^2－2b2^2）不属于Q
所以X1/X2不属于A

第二题也一样，最后求得X1X2属于B ， X1/X2不属于B

Answer 2

(1)设x1=a1+b1√2,x2=a2+b2√2(a1,a2,b1,b2∈Q)
则x1x2=a1a2+2b1b2+(a1b2+a2b1)√2
因为a1a2+2b1b2∈Q，a1b2+a2b1∈Q
所以x1x2∈A
x1/x2=(a1a2-2b1b2)/[a2^2-2(b2^2)]+{(a2b1-a1b2)/[a2^2-2(b2^2)]}*√2
因为(a1a2-2b1b2)/[a2^2-2(b2^2)]∈Q,(a2b1-a1b2)/[a2^2-2(b2^2)]∈Q
所以x1/x2∈A
(2)方法和第一问一样，在这里我就不详细说了。
X1X2一定属于B，x1/x2不一定属于B。

Answer 3

（1）X1=a1＋b1根号2
X2=a2＋b2根号2
X1×X2=（a1＋b1根号2）（a2＋b2根号2）=a1a2＋2b1b2＋（a1b2＋a2b1）根号2
因为a1a2＋2b1b2，a1b2＋a2b1都属于Q，所以X1X2属于A
X1/X2=（a1＋b1根号2）/（a2＋b2根号2）=（a1a2－2b1b2）/（a2^2－2b2^2）＋（a2b1－a1b2）/（a2^2－2b2^2）根号2
因为（a1a2－2b1b2）/（a2^2－2b2^2），（a2b1－a1b2）/（a2^2－2b2^2）不属于Q
所以X1/X2不属于A
(2)方法和第一问一样，在这里我就不详细说了。
X1X2一定属于B，x1/x2不属于B。