Question

定积分的概念和几何意义

Answer 1

定积分的概念和几何意义如下：

概念：是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。

几何意义：被积函数与坐标轴围成的面积，x轴之上部分为正，x轴之下部分为负，根据cosx在[0,2π]区间的图像可知，正负面积相等，因此其代数和等于0。

定积分的意义有很多，它可以表示一个图形的面积，也可以和物理联系在一起，定积分可以为负值，但如果你要求图形的面积，就要用到它的绝对值。

理解这个含义，需要注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有。

定积分的分类：

1、不定积分，即已知导数求原函数。若F’(x)= f(x)，那么[F(x)+C]'= f(x)，（C∈R，c属于常数）也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。

所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。所以一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。

2、定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由y=0,x=a,x=b,y= f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。