Question

已知函数f(x)=cos2x+sin2x,x属于R. 求函数f(x)在区间〔-π/8,π/2〕的最小值和最大值，并求出取得最值时x的

Answer 1

解：原函数为：f(x)=cos2x+sin2x，已知x的取值范围[-π/8,π/2]
则：f(x)=cos2x+sin2x=√2[(sin2x)*(√2/2)+(cos2x)*(√2/2)]
=√2[sin2xcos(π/4)+cos2xsin(π/4)]
=√2sin(2x+π/4)
令2x+π/4=π/2，我们能取到函数的最大值，解得x=π/8,(符合x的取值范围）
ymax=2^(1/2)
令2x+π/4=-π/2 我们能取到函数的最小值，解得x=-3π/8,(不符合x的取值范围）
所以在已知x的范围[-π/8,π/2]内，我们无法取到理想的最小值，比较f(-π/8),f(π/2)的值的大小
有：f(-π/8)>f(π/2) 代入x=π/2,得函数的最小值为: ymin=-1
故：当x=π/8时，函数的最大值为 ymax=2^(1/2)；
当x=π/2时，函数的最小值为 ymin=-1.

Answer 2

f(x)=cos2x+sin2x=√2[(sin2x)*(√2/2)+(cos2x)*(√2/2)]
=√2[sin2xcos(π/4)+cos2xsin(π/4)]
=√2sin(2x+π/4)
-π/8≤x≤π/2 ==> 0≤2x+π/4≤5π/4
-√2/2≤sin(2x+π/4)≤1 ==> -1 ≤ f(x) ≤ √2
f(MAX)=√2 当且仅当 2x+π/4=π/2+2kπ 即x=π/8+kπ 时取“=”本题是x=π/8
f(min) =-1 当且仅当 2x+π/4=5π/4+2kπ 即x=π/2+kπ 时取“=”本题是x=π/2

Answer 3

f(x)=cos2x+sin2x=√2sin(2x+π/4)
因为：-π/8<=x<=π/2，所以：0<=2x+π/4<=5π/4，-√2/2<=sin(2x+π/4)<=1
当2x+π/4=5π/4，即x=π/2时，f(x)min=-√2*√2/2=-1
当2x+π/4=π/2，即x=π/8时，f(x)max=√2*1=√2