Question

如何用凑微分法和换元法解不定积分？

Answer 1

(1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C

解题过程如下：

①令x = sinθ,则dx = cosθ dθ

②∫ √(1 - x²) dx = ∫ √(1 - sin²θ)(cosθ dθ) = ∫ cos²θ dθ

③利用降次公式，原式= ∫ (1 + cos2θ)/2 dθ = θ/2 + (sin2θ)/4 + C

④因为θ=arcsinx，所以θ/2 + (sin2θ)/4 + C

= (arcsinx)/2 + (x√(1 - x²))/2 + C

= (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C

换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。

一、第一类换元法（即凑微分法）

通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。例如 。

二、注：第二类换元法的变换式必须可逆。

第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。