如何用凑微分法和换元法解不定积分?
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(1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C
解题过程如下:
①令x = sinθ,则dx = cosθ dθ
②∫ √(1 - x²) dx = ∫ √(1 - sin²θ)(cosθ dθ) = ∫ cos²θ dθ
③利用降次公式,原式= ∫ (1 + cos2θ)/2 dθ = θ/2 + (sin2θ)/4 + C
④因为θ=arcsinx,所以θ/2 + (sin2θ)/4 + C
= (arcsinx)/2 + (x√(1 - x²))/2 + C
= (1/2)[arcsinx + x√(1 - x²)] + C
换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。
一、第一类换元法(即凑微分法)
通过凑微分,最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。例如 。
二、注:第二类换元法的变换式必须可逆。
第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候,为了避免繁琐的展开式,有时也可以使用第二类换元法求解。
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