Question

1.求出下列函数的图形的渐近线:-|||-(1) xy=1;-|||-(2) y=(1-2x)/(

Answer 1

(1) 函数 xy = 1 的图像是双曲线的形状，它的渐近线可以通过分析当 x 和 y 趋近无穷大或无穷小的时候，这条双曲线所趋近的直线来求解。由于 xy = 1，所以当 x 趋近无穷大时，y 趋近 0，当 y 趋近无穷大时，x 趋近 0，因此该双曲线有两条渐近线：x 轴和 y 轴。
(2) 函数 y = (1 - 2x)/(x - 2) 的图像是一条直线，但因为该函数在 x = 2 处有一个垂直渐近线，所以它只有一条斜率为 -2 的斜渐近线。为了求出这条斜渐近线，我们可以使用函数的极限值和导数来计算。当 x 趋近正无穷或负无穷时，函数的值趋近于 -2，因此斜渐近线的方程为 y = -2x + b，其中 b 是一个常数，可以通过求解 y = (1 - 2x)/(x - 2) 当 x 趋近正无穷或负无穷时的极限值来确定。通过分子分母同时除以 x，我们可以得到：
y = (1 - 2x)/(x - 2) = (-2 + 2/x)/(1 - 2/x)
当 x 趋近正无穷或负无穷时，分子和分母都趋近于一个常数，因此函数的极限值为 -2。这意味着斜渐近线的方程应该满足 y = -2x + b，其中 b = lim (y + 2x) 当 x 趋近正无穷或负无穷时，将 y = (-2 + 2/x)/(1 - 2/x) 代入该式中，可以得到：
b = lim [( -2 + 2/x)/(1 - 2/x) + 2x] = lim [-2x/(1 - 2/x)] = 4
因此，函数 y = (1 - 2x)/(x - 2) 的斜渐近线方程为 y = -2x + 4。