Question

2/3*ln lx+1l+2/3*ln(x^2-x+1)-∫dx/[3/4+(x-1/2)^2] =2/3*ln lx^3+1l-2/(√3)*arctan(2x-1)/√3+c

这是怎么转化的

Answer 1

一、证明：（2/3）ln｜x＋1｜＋（2/3）ln（x^2－x＋1）＝（2/3）ln｜x^3＋1｜。
（2/3）ln｜x＋1｜＋（2/3）ln（x^2－x＋1）
＝（2/3）［ln｜（x＋1）｜＋ln（x^2－x＋1）］
＝（2/3）ln｜（x＋1）（x^2－x＋1）｜
＝（2/3）ln｜x^3＋1｜。

二、证明：∫｛1/［3/4＋（x－1/2）^2］｝dx＝（2/√3）arctan［（2x－1）/√3］＋C。
令x－1/2＝（√3/2）u，则dx＝（√3/2）dtu，且u＝（2x－1）/√3。
于是：
∫｛1/［3/4＋（x－1/2）^2］｝dx
＝∫｛1/［3/4＋（3/4）u^2］｝（√3/2）du
＝［（√3/2）/（3/4）］∫［1/（1＋u^2）］du
＝（2/√3）arctanu＋C
＝（2/√3）arctan［（2x－1）/√3］＋C。