Question

高数中第一型曲线积分和第二型曲线积分有什么区别？怎么做题啊？

Answer 1

高等数学中的第一型曲线积分与第二型曲线积分之间的关系见插图详细分析与推导过程。

顺便补充几个知识点：

1.两类曲面积分之间的联系类似于两类曲线积分之间的联系。

对于平面曲线积分，若曲线闭合，在满足格林公式的条件下，可以转化为闭曲线L所围的平面闭区域D上的二重积分，转化公式请参见高等数学课本。

对于空间曲线积分，若曲线闭合，在满足斯托克斯公式的条件下，可以转化为以闭曲线Γ为边界的曲面积分，转化公式请参见高等数学课本。

在有的时候，空间曲线积分是可以经过化简转化成平面曲线积分，然后再利用格林公式计算，将大大简化计算量。比如说：∫Pdx+Qdy+Rdz,如果曲线Γ为x平方+y平方=9，z=6,那么沿着这个曲线积分，由于z是常数不变，所以dz=0，因此上式∫Pdx+Qdy+Rdz可以转化为：∫Pdx+Qdy，

这样便大大简化了计算量，因为格林公式要比斯托克斯公式形式上简单一些。

2.对于曲面积分，就是曲面的单位法向量n=(cosα,cosβ,cosγ)

第二类曲面积分∫∫Pdx+Qdy+Rdz=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS,其中，dS就是曲面的面积元素。

dS的求法：如果曲面方程为f(x,y,z)=0,曲面投影到yoz面，那么要从曲面方程f(x,y,z)=0中，解出

x对y的偏导数和x对z的偏导数，然后代入dS公式中即可。

曲面法向量的求法：把曲面方程看作是某一个三元函数的梯度，那么求出这个三元函数的梯度，

然后再确定一下曲面的侧，就得到了曲面的法向量，再将其单位化即可。

3,最后要注意的是，在曲线、曲面积分中，一定要将求得的切向量和法向量单位化，才能代入积分式中。还有就是，在求方向导数的时候，向量也必须单位化后，才能带入方向导数的公式中。

Answer 2

哥们给你都说了吧：
第一类曲线积分，可以通过将ds转化为dx或dt变成定积分来做，但是单纯的第一类曲线积分和二重积分没有关系，只有通过转化为第二类曲线积分后，要是满足格林公式或者斯托科斯公式条件，可以用公式转化为简单的曲面积分，再将曲面积分投影到坐标面上转化为二重积分来计算，这是第一类曲线积分和二重积分关系，但是第一类曲线积分和三重积分么有任何关系……
第一类曲面积分，可以通过公式变换，将dS转化为dxdy，直接转化为二重积分来做，但是和三重积分没有任何关系，只有通过转化为第二类曲面积分，满足了高斯公式条件，才能用高斯公式转化为三重积分来计算
曲线积分与定积分，曲面积分与二重积分的区别：曲面积分、曲线积分都是给定了特定的曲线或者曲面的方程形式，意思是在曲线上或曲面上进行积分的，而不是像普通的二重积分和定积分那样直接在xyz坐标上进行积分，所以要将第一类曲线积分，第一类曲面积分通过给定的方程形式变换成在xyz坐标进行积分，另外既然给定了曲线或曲面方程，就可以根据方程把一个量表示成其他的两个量的关系，因为是在给定的曲线或曲面方程上进行积分的，所以要满足给定的曲线或曲面的方程，所以各个量之间可以代换的，这个普通的定积分和二重积分不能这么做的……
第一类曲线积分：对线段的曲线积分，有积分顺序，下限永远小于上限……求解时米有第二类曲线积分简单，需要运用公式将线段微元ds通过给定的曲线方程形式表示成x与y的形式，进行积分，这个公式书里面有的，就是对参数求导，然后再表示成平分和的根式……
第二类曲线积分：对坐标的曲线积分，没有积分顺序，意思是积分上下限可以颠倒了……
第一类曲线积分和第二类曲线积分的关系：可以用余弦进行代换，余弦值指的是线段的切向量，这个书本里面的，我就不写了
第一类曲面积分：对面积的曲面积分，求解时要通过给定的曲面方程形式，转化成x与y的形式，这个公式书里面也有的，就是求偏导吧？然后表示成平方和根式的形式
第二类曲面积分：对坐标的曲线积分，这个简单一些，好好看看就可以了
两类曲面积分的联系：可以用余弦代换，但是这个余弦是曲面的法向量
下面给出第一类曲线积分和第一类曲面积分的联系，方便你记忆：都是要转化成在xyz坐标面上的积分，都是平方和的根式形式，但是第一类曲线积分是对参数求导，第一类曲面积分是求偏导，为何都是平方和的根式形式？原因是在微段或微面上用直线代替曲线，相当于正方体求对角线，你想想是不是，肯定要出现平方和的根式，你好好看看推导过程……
第二类曲线积分与第二类曲面积分的关系：
第二类曲线积分如果封闭的话，可以用格林公式或斯托克斯公式化简
第二类曲面积分如果封闭的话，可以用高斯公式进行化简
这些东西很有趣的，你要学会对应的记忆啊……